Coordinate cartesiane e angolo

In un riferimento cartesiano ortogonale $\mathrm{O}xy$ , consideriamo una circonferenza di diametro $2r$ , passante per l’origine degli assi e avente il centro sull’asse delle ordinate. Detto $\mathrm{C}$ il centro della circonferenza, indichiamo con $\mathrm{A}$ il punto sulla circonferenza diametralmente opposto di $\mathrm{O}$ .

Consideriamo poi un qualsiasi punto $\mathrm{M}$ sulla circonferenza e indichiamo con $\alpha$ l’angolo orientato $\measuredangle AOM$ . La posizione del punto $\mathrm{M}$ è determinata in modo univoco al variare di $\alpha$ nell’intervallo $\left]-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Si osservi che l’intervallo è aperto a sinistra e chiuso a destra.

$-\dfrac{\pi}{2}<\alpha\leqslant\dfrac{\pi}{2}$

Vi è una corrispondenza biunivoca (corrispondenza 1 a 1) tra i valori dell’angolo $\alpha$ e i punti della circonferenza.

Se $\alpha=0$ allora $\mathrm{M}=\mathrm{A}$ ; se $\alpha$ aumenta e tende a $\pi/2$ allora la posizione di $\mathrm{M}$ sulla circonferenza si avvicina al punto $\mathrm{O}$ che raggiunge quando $\alpha$ assume proprio il valore di $\pi/2$ ; se $\alpha$ diminuisce e tende a $-\pi/2$ allora la posizione di $\mathrm{M}$ sulla circonferenza si avvicina al punto $\mathrm{O}$ dal quarto quadrante. Si può vedere bene questa situazione utilizzando un programma di geometria dinamica come GeoGebra.

Vogliamo ora esprimere le coordinate del punto $\mathrm{M}$ in funzione dell’angolo orientato $\alpha$ . Osserviamo che il triangolo $\mathrm{AOM}$ è rettangolo in $\mathrm{M}$ perchè inscritto in una semicirconferenza. Pertanto utilizzando le formule elementari della trigonometria otteniamo

$\mathrm{AO}=2r$

$\mathrm{OM}=2r\cos\alpha$

$x_{\mathrm{M}}=\mathrm{OM}\cdot\sin\alpha=2r\cos\alpha\cdot\sin\alpha=2r\sin\alpha\cos\alpha$

$y_{\mathrm{M}}=\mathrm{OM}\cdot\cos\alpha=2r\cos\alpha\cdot\cos\alpha=2r\cos^2\alpha$