Dimostrazione trigonometrica
Solitamente le formule di addizione e sottrazione delle funzioni goniometriche si dimostrano utilizzando la loro definizione nella circonferenza goniometrica. Nella dimostrazione classica dopo aver dimostrato la congruenza tra due opportuni triangoli si utilizza la formula della distanza tra due punti per verificare l’uguaglianza. Qui di seguito viene proposto un approccio trigonometrico della dimostrazione delle formule di addizione nel caso in cui la somma degli angoli sia minore di un angolo piatto. Le formule possono poi essere generalizzate utilizzando le formule goniometriche di riduzione al primo quadrante.
Consideriamo due angoli acuti consecutivi la cui somma sia minore di un angolo retto. Se indichiamo \(\mathrm{A}\) il vertice comune dei due angoli e con \(r\), \(s\) e \(t\) i lati degli angoli, poniamo \(\alpha=\angle r\mathrm{A}s\) e \(\beta=\angle s\mathrm{A}t\). Preso sulla semiretta \(t\) un qualsiasi punto \(\mathrm{B}\neq\mathrm{A}\), indichiamo con \(\mathrm{C}\) e \(\mathrm{D}\) le proiezioni di \(\mathrm{B}\) rispettivamente sulle semirette \(s\) e \(r\). Infine indichiamo con \(\mathrm{E}\) ed \(\mathrm{F}\) le proiezione del punto \(\mathrm{C}\) rispettivamente sulla semiretta \(r\) e sul segmento \(\mathrm{BD}\).
Dalla costruzione geometrica si può facilmente dedurre che \(\angle\mathrm{FCA}=\alpha\), perché \(\mathrm{FC}\) parallelo ad \(\mathrm{AE}\), e che \(\angle\mathrm{FBC}=\alpha\), perché entrambi complementari dello stesso angolo.
Passiamo quindi alla dimostrazione (trigonometrica) della formula di addizione del seno:
$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CE}+\mathrm{FB}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AB}}+\frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{AB}}$$
L’idea ora sta nel considerare i segmenti BF e CE come cateti rispettivamente dei triangoli rettangoli BFC e AEC e quindi nel moltiplicare e dividere le frazioni per le rispettive ipotenuse, ottenendo così la formula di addizione del seno
$$\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AB}}+\frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{AB}}= \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AC}}\cdot\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}+\frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{BC}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta$$
Utilizzando la stessa costruzione geometrica, e in modo del tutto analogo, si dimostra la formula di addizione del coseno
$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE-FC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}-\frac{\mathrm{FC}}{\mathrm{AB}}$$
$$\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}-\frac{\mathrm{FC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}\cdot\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}-\frac{\mathrm{FC}}{\mathrm{BC}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta$$
La dimostrazione delle formule di addizione si possono poi generalizzare utilizzando le formule sugli angoli associati per ridurre \(\alpha+\beta\) al primo quadrante.